"गणितीय भौतिकी के समीकरण" - पाठ्यक्रम 2800 रूबल। एमएसयू से, 15 सप्ताह का प्रशिक्षण। (4 महीने), दिनांक: 30 नवंबर, 2023।
अनेक वस्तुओं का संग्रह / / December 02, 2023
यह पाठ्यक्रम स्नातक, परास्नातक और गणितीय, इंजीनियरिंग या प्राकृतिक विज्ञान विषयों में विशेषज्ञता वाले विशेषज्ञों के साथ-साथ विश्वविद्यालय के शिक्षकों के लिए है। पाठ्यक्रम का उद्देश्य छात्र को गणितीय भौतिकी के साथ समीकरणों के क्षेत्र में कई शास्त्रीय मुद्दों से परिचित कराना और छात्र को ऐसे समीकरणों के अध्ययन के बुनियादी तरीकों को सिखाना है। पाठ्यक्रम में अध्ययन के एक सेमेस्टर के भीतर गणितीय भौतिकी (आंशिक अंतर समीकरण) के समीकरणों पर शास्त्रीय सामग्री शामिल है। अनुभाग "प्रथम क्रम के रैखिक और चतुर्रेखीय समीकरण", "रैखिक समीकरणों का वर्गीकरण", "तरंग समीकरण", "परवलयिक समीकरण", "मौलिक समाधान", "लाप्लास समीकरण"। हम समस्याओं के शास्त्रीय सूत्रीकरण से परिचित होंगे - कॉची समस्या, सीमा समस्या. आइए समीकरणों के अध्ययन की बुनियादी विधियों में महारत हासिल करें - प्रत्यक्ष एकीकरण, समाधानों की निरंतरता की विधि, फूरियर विधि, मौलिक समाधानों की विधि, संभावनाओं की विधि। हम अक्सर गणितीय भौतिकी की समस्याओं में इन समीकरणों की व्युत्पत्ति और हमारे मॉडलों की प्रयोज्यता की सीमाओं को याद करेंगे।
अध्ययन का स्वरूप
दूरस्थ शिक्षा प्रौद्योगिकियों का उपयोग कर पत्राचार पाठ्यक्रम
प्रवेश आवश्यकताओं
वीओ या एसपीओ की उपलब्धता
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अवधिभौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर, प्रोफेसर पद: मौलिक और अनुप्रयुक्त गणित विभाग के प्रोफेसर, अंतरिक्ष अनुसंधान संकाय, मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी का नाम एम.वी. लोमोनोसोव के नाम पर रखा गया है।
1. पहली मुलाकात।
परिचयात्मक शब्द. गणितीय भौतिकी के समीकरणों के साथ काम करने के बुनियादी सिद्धांत। सरल समीकरणों के उदाहरण. वर्गीकरण. सरल समीकरणों को साधारण अवकल समीकरणों में परिवर्तित करके हल करना। किसी समीकरण में चरों को प्रतिस्थापित करना.
2. प्रथम कोटि के समीकरण - रैखिक और चतुर्रेखीय।
रेखीय समीकरण। एक उपयुक्त प्रतिस्थापन ढूँढना - प्रथम-क्रम साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करना और हल करना। सिस्टम का पहला अभिन्न अंग. विशेषताएँ। क्वासिलिनियर समीकरण. अन्तर्निहित रूप में समाधान खोजना।
3. कॉची समस्या. रैखिक दूसरे क्रम के समीकरणों का वर्गीकरण।
कॉची समस्या का विवरण. कॉची समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेय। स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों का वर्गीकरण। विहित रूप में कमी.
4. अतिपरवलयिक, परवलयिक और अण्डाकार समीकरण।
समतल पर चर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों का वर्गीकरण। अतिशयोक्तिपूर्ण, परवलयिक और अण्डाकार प्रकार। अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों को हल करना. प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के साथ समस्याएँ.
5. स्ट्रिंग समीकरण.
संपूर्ण अक्ष पर एक आयामी तरंग समीकरण। आगे और पीछे की लहर. डी'अलेम्बर्ट का सूत्र. डुहामेल इंटीग्रल. अर्ध-अक्ष पर समीकरण के लिए सीमा स्थितियाँ। सीमा शर्तों के बुनियादी प्रकार. समाधान की निरंतरता. एक परिमित खंड का मामला.
6. उदाहरण के तौर पर स्ट्रिंग समीकरण का उपयोग करते हुए फूरियर विधि।
फूरियर पद्धति का विचार. पहला कदम आधार ढूंढना है। दूसरा चरण फूरियर गुणांक के लिए सामान्य अंतर समीकरण प्राप्त करना है। तीसरा चरण प्रारंभिक डेटा को ध्यान में रखना है। श्रृंखला का अभिसरण.
7. प्रसार समीकरण (परिमित खंड)।
समीकरण की व्युत्पत्ति. समस्याओं का विवरण (प्रारंभिक और सीमा शर्तें)। फूरियर विधि. दाहिनी ओर और सीमा स्थितियों में असमानता को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला का अभिसरण.
8. प्रसार समीकरण (संपूर्ण अक्ष)।
फूरियर रूपांतरण, व्युत्क्रम सूत्र। फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके समीकरण को हल करना। प्रमेय - विधि का औचित्य (दो मामले)। पॉइसन का सूत्र. दाएँ पक्ष वाले समीकरण का मामला.
9. सामान्यीकृत कार्य.
पॉइसन के सूत्र को कनवल्शन के रूप में लिखना। एक परिमित खंड पर ऊष्मा समीकरण के समाधान के कनवल्शन के रूप में रिकॉर्डिंग। श्वार्ट्ज वर्ग. कक्षा से कार्यों के उदाहरण. सामान्यीकृत कार्यों की परिभाषा, शास्त्रीय कार्यों के साथ संबंध। किसी सामान्यीकृत फलन को मूल फलन से गुणा करना, विभेदन। सामान्यीकृत कार्यों का अभिसरण। सामान्य कार्यों के उदाहरण.
10. सामान्य कार्यों के साथ कार्य करना.
सामान्यीकृत कार्यों में साधारण अंतर समीकरणों को हल करना। सामान्यीकृत कार्यों का फूरियर रूपांतरण। कनवल्शन। प्रत्यक्ष उत्पाद. एक सामान्यीकृत कार्य का वाहक। मौलिक समाधान का उपयोग करके अमानवीय एक-आयामी ताप समीकरण को हल करना। एक अंतराल पर एक साधारण अंतर ऑपरेटर का मौलिक समाधान।
11. मौलिक समाधान.
बहुआयामी ऊष्मा समीकरण के लिए पॉइसन सूत्र की व्युत्पत्ति। किरखॉफ के सूत्र की व्युत्पत्ति. तरंग समीकरण के लिए पॉइसन के सूत्र की व्युत्पत्ति। चरों को अलग करने की विधि, सुपरपोजिशन की विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करना।
12. लाप्लास का समीकरण.
लाप्लास समीकरण की व्युत्पत्ति. वेक्टर क्षेत्र - क्षमता, सतह के माध्यम से प्रवाह। वॉल्यूम क्षमता. सरल परत क्षमता. दोहरी परत क्षमता. लघुगणक क्षमता.
13. डिरिचलेट समस्या, न्यूमैन समस्या और ग्रीन का कार्य।
हार्मोनिक कार्य. कमजोर चरम सिद्धांत. हार्नैक का प्रमेय. सख्त अधिकतम सिद्धांत. विशिष्टता प्रमेय. माध्य मान प्रमेय. अंतहीन चिकनाई. लिउविले का प्रमेय. हरे का सूत्र. हरे रंग का कार्य, उसके गुण। ग्रीन फ़ंक्शन का उपयोग करके डिरिचलेट स्थितियों के साथ पॉइसन समस्या का समाधान। अन्य सीमा मूल्य समस्याएं. परावर्तन विधि द्वारा ग्रीन के फलन का निर्माण।
14. बहुआयामी फूरियर विधि।
फूरियर पद्धति का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना। विभिन्न सीमा शर्तें. बेसेल कार्य करता है. पौराणिक बहुपद. पूर्ण किये गये पाठ्यक्रम की समीक्षा. संक्षेपण।